Question

已知A（-1，0），B（1，0），P是圆C：（x-3）²+（y-4）²=4上的任意一点，则|PA|²+|PB|²的最大值与最小值各位多少（　　）

A．100，65

B．65，20

C．100，20

D．100，45

Answer 1

分析：先根据A，B的坐标分别表示出|OA|和|OB|，进而可求得

OA

+

OB

和

OA

•

OB

的值，进而根据中点公式求得 

PA

+

PB

=2

PO

，进而求得|

PA

|²+|

PB

|²的表达式，同时根据点P在圆上求得 

OC

和 

OP

，进而根据|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|求得 

OP

的范围，进而求得|

PA

|²+|

PB

|²的最大值和最小值

解答：解：设已知圆的圆心为C，由已知可得

OA

=（-1，0），

OB

=（1，0），
∴

OA

+

OB

=0，

OA

•

OB

=-1，又由中点公式得

PA

+

PB

=2

PO

，
所以|

PA

|²+|

PB

|²=（

PA

+

PB

）²-2•

PA

•

PB

=（2

PO

）²-2（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）
=4|

PO

|²-2

OA

•

OB

-2|

OP

|²+2

OP

•(

OA

+

OB

)）=2|

OP

|²+2，
又因为

OC

=（3，4）点P在圆（x-3）²+（y-4）²=4上，
所以|

OC

|=5，|

CP

|=2，且

OP

=

OC

+

CP

，
所以|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|，
即3≤|

OP

|≤7，故20≤|

PA

|²+|

PB

|²=2|

OP

|2+2≤100，
所以|PA|²+|PB|²的最大值为100，最小值为20．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用和向量的基本计算．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．