Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．
（1）求线段PD的长；
（2）若PC=

11

R，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）要求线段PD的长，利用三角形相似，以及直角三角形，即可解答．
（2）若PC=

11

R，求三棱锥P-ABC的体积．先求底面面积，说明PD⊥底面，求出PD即可求出体积．

解答：解：（1）∵BD是圆的直径，
∴∠BAD=90°又△ADP～△BAD，
∴

AD

BA

=

DP

AD

，DP=

AD2

BA

=

(BDsin60°)2

(BDsin30°)

=

4R2× 3 4

2R× 1 2

=3R．

（2）在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=

2

R
∵PD²+CD²=9R²+2R²=11R²=PC²
∴PD⊥CD又∠PDA=90°，
∴PD⊥底面ABCD．
S△ABC=

1

2

AB•BCsin(60°+45°)=

1

2

R•

2

R(

3

2

2

2

+

1

2

2

2

)=

3 +1

4

R2，
三棱锥P-ABC的体积为：VP-ABC=

1

3

•S△ABC•PD=

1

3

•

3 +1

4

R2•3R=

3 +1

4

R3．

点评：本题考查棱锥的体积计算方法，求线段的长，考查空间想象能力，是中档题．