Question

已知向量

m

=(

3

sin2x+2，cosx)，

n

=(1，2cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间
（2）用三角形的面积公式和余弦定理列方程求．

解答：解：（1）∵

m

=(

3

sin2x+2，cosx)，

n

=(1，2cosx)，
∴f(x)=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos2x=

3

sin2x+cos2x+3=2sin(2x+

π

6

)+3
∴T=

2π

2

=π
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)
∴kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2

3

π(k∈Z)
∴f（x）的单调区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2

3

π]，k∈Z
（2）由f（A）=4得f(A)=2sin(2A+

π

6

)+3=4
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

又∵A为△ABC的内角
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

∴A=

π

3

∵S△ABC=

3

2

，b=1
∴

1

2

bcsinA=

3

2

∴c=2
∴a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1×

1

2

=3
∴a=

3

点评：本题考查向量的运算法则、三角函数的二倍角公式、三角函数的面积公式、三角函数的余弦定理．