Question

已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为K_PM、K_PN，当时，则椭圆方程为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由长轴长易求a值，设P（x₀，y₀），直线l方程为y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），由可得一等式，再由P在椭圆上可得一等式，由两式可消去y₀，由P为椭圆任意点可知该式与x₀无关，由此可求得b值．
解答：由长轴长为4得2a=4，解得a=2，
设P（x₀，y₀），直线l方程为y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），
则K_PM=，K_PN=，
由得，•=-，即=-，
所以=（4k²+1）-①，
又P在椭圆上，所以，即，代入①式得4b²-=（4k²+1）-，
所以4b²=（4k²+1）+（b²-1），
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x₀无关，
所以b²-1=0，解得b=1，
所以所求椭圆方程为．
故选D．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查恒成立问题，解决本题的关键是正确理解“点P的任意性”，难度较大．