Question

如图所示，已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC与BD交于E点，BD=2，BC=CD=

2

．
（1）取PD的中点F，求证：PB∥平面AFC；
（2）求多面体PABCF的体积．

Answer 1

分析：（1）以AC、AP分别为y、z轴，点A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．欲证PB∥平面ACF，只须证PB∥EF，分别求出向量

PB

、

FE

的坐标，可得

PB

=

1

2

FE

，结合向量的线性运算法则得PB∥EF，由此可得PB∥平面ACF．
（2）根据题意算出等边△ABD和等腰Rt△BCD的面积，从而得到四边形ABCD的面积S_ABCD=

3

+1，结合PA=2是四棱锥P-ABCD的高，利用锥体体积公式算出四棱锥P-ABCD的体积，即得多面体PABCF的体积．

解答：解：（1）以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴△ABD是等边三角形，且E是BD中点，AC⊥BD，
则A（0，0，0）、B（1，

3

，0）、D（-1，

3

，0）、E（0，

3

，0）、
P（0，0，2）、F（-

1

2

，

3

2

，1）
∵

PB

=（1，

3

，-2），

FE

=（

1

2

，

3

2

，-1），
∴

PB

=

1

2

FE

，可得PB∥EF，
∵PB?平面ACF，EF?平面ACF，∴PB∥平面ACF．
（2）∵△ABD是边长为2的等边三角形，∴S_△ABD=

3

4

BD2=

3

又∵△BCD中，BC=CD=

2

且BD=2，
∴△BCD是以BC、CD作为直角边的等腰直角三角形，可得S_△BCD=

1

2

×BC×CD=1
因此，四边形ABCD的面积S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD=

3

+1
∵PA⊥平面ABCD，得PA是四棱锥P-ABCD的高
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

S_ABCD×PA=

1

3

（

3

+1）×2=

2+2 3

3

即多面体PABCF的体积等于

2+2 3

3

．

点评：本题给出四棱锥的高等于2，底面由边长为2的正三角形和斜边长等于2的等腰直角三角形组成的四边形，证明直线与平面垂直并求锥体的体积．着重考查了利用向量的方法证明线面平行、锥体的体积求法等知识，属于中档题．