Question

已知两点F1(-

2

，0)、F2(

2

，0)，曲线C上的动点P（x，y）满足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

|×|

.

PF2

|=2．
（I）求曲线C的方程；
（II）设直线l：y=kx+m（k≠0），对定点A（0，-1），是否存在实数m，使直线l与曲线C有两个不同的交点M、N，满足|AM|=|AN|？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）用坐标表示向量，利用曲线C上的动点P（x，y）满足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

||

.

PF2

|=2，建立方程，化简可求曲线C的方程；
（II）法一：直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及k_AP•k=-1，结合判别式可得结论；
法二：利用点差法，结合点P（x₀，y₀）在椭圆内，即可得到结论．

解答：解：（I）∵F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，P（x，y）
∴

.

PF1

=(-

2

-x，-y).

.

PF2

=(

2

-x，-y)
∵曲线C上的动点P（x，y）满足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

||

.

PF2

|=2
∴x2-2+y2+

(- 2 -x)2+y2

•

( 2 -x)2+y2

=2
化简可得

x2

3

+y2=1
∴所求曲线的方程为

x2

3

+y2=1；                                  
（II）法一：设M（x1，y1），N（x₂，y₂），线段MN的中点为P（x₀，y₀），
联立方程组得，

y=kx+m x2 3 +y2=1

，∴（3k²+1）x²+6mkx+3m²-3=0               
由直线与椭圆有两个交点，得m²＜3k²+1，①
且x0=-

3km

1+3k2

，y0=kx0+m=

m

1+3k2

，
又k_AP•k=-1，∴

y0+1

x0

=-

1

k

，即m=

1+3k2

2

，②
①②联立，可得m∈(

1

2

，2)．
法二：点差得k=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

3y0

，又k_AP•k=-1?

y0+1

x0

=-

1

k

，故x0=-

3

2

k，y0=

1

2

．
点P（x₀，y₀）在椭圆内，得k²∈（0，1），m=y0-kx0=

1

2

+

3

2

k2∈(

1

2

，2)

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．