【题目】在给出的下列命题中,正确的是( )
A.设是同一平面上的四个点,若,则点必共线
B.若向量是平面上的两个向量,则平面上的任一向量都可以表示为,且表示方法是唯一的
C.已知平面向量满足则为等腰三角形
D.已知平面向量满足,且,则是等边三角形
【答案】ACD
【解析】
对于A,根据共线定理判断A、B、C三点共线即可;对于B,根据平面向量的基本定理,判断命题错误;对于C,根据向量的运算性质可得OA为BC的垂线且OA在的角平分线上,从而可判断C;对于D,根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确;
对于A,,
∴,∴,且有公共点C,
∴则点A、B、C共线,命题A正确;
对于B,根据平面向量的基本定理缺少条件不共线,故B错误;
对于C,由于,即,,
得,即OA为BC的垂线,
又由于,可得OA在的角平分线上,
综合得为等腰三角形,故C正确;
对于D,平面向量、、满足,且,
∴,∴,
即,∴,
∴、的夹角为,同理、的夹角也为,
∴是等边三角形,故D正确;
故选ACD.
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【题目】人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分,这是由对应的基因决定的.生物学上已经证明:决定眼皮单双的基因有两种,一种是显性基因(记为),另一种是隐性基因(记为);基因总是成对出现(如、、、),而成对的基因中,只要出现了显性基因,那么这个人就一定是双眼皮(也就是说,“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是”);如果不发生基因突变的话,成对的基因中,一个来自父亲,另一个来自母亲,但父母亲提供基因时都是随机的.有一对夫妻,两人成对的基因都是,不考虑基因突变,求他们的孩子是单眼皮的概率.
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【题目】如图,设椭圆:的左、右焦点分别为,,上顶点为,过点作与垂直的直线交轴负半轴于点,且.
(1)若过,,三点的圆恰好与直线:相切,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在点使得以,为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其它各面用钢筋网围成.
(1)现有可围长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
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【题目】某超市计划销售某种食品,现邀甲、乙两个商家进场试销5天.两个商家提供的返利方案如下:甲商家每天固定返利60元,且每卖出一件食品商家再返利2元;乙商家无固定返利,卖出30件以内(含30件)的食品,每件食品商家返利4元,超出30件的部分每件返利6元.经统计,两个商家的试销情况茎叶图如下:
甲 | 乙 | |||||||
9 | 8 | 9 | 2 | 8 | 8 | |||
2 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 |
(1)现从甲商家试销的5天中抽取两天,求这两天的销售量都小于30的概率;
(2)超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售,如果仅从日平均返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为超市作出选择,并说明理由.
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【题目】已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值.
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【题目】袋中有红、白球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,求基本事件的个数n,写出所有基本事件的全集I,并计算下列事件的概率:
(1)三次颜色恰有两次同色;
(2)三次颜色全相同;
(3)三次摸到的红球多于白球.
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【题目】如图,一张坐标纸上一已作出圆及点,折叠此纸片,使与圆周上某点重合,每次折叠都会留下折痕,设折痕与直线的交点为,令点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切,若,求的面积的取值范围.
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