Question

甲、乙、丙三人独立完成某项任务的概率分别为．且他们是否完成任务互不影响．
（Ⅰ）若，设甲、乙、丙三人中能完成任务人数为X，求X的分布列和数学期望EX；
（Ⅱ）若三人中只有丙完成了任务的概率为，求p的值．

Answer 1

解：设“甲、乙、丙三人各自完成任务”分别为事件A、B、C，
所以P（A）=，P（B）=p，P（C）=，且A、B、C相互独立．
（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3．
因为，所以P（B）=．
所以P（X=0）=P（••）=（1-）×（1-）×（1-）=，
P（X=1）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）=，
P（X=2）=P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=，
P（X=3）=P（A•B•C）=××=．
所以X分布列为：

X	0	1	2	3
P

所以，．
（Ⅱ）设“三人中只有丙完成了任务”为事件E，
所以P（E）=P（••C）=（1-）×（1-p）×=，
所以
解可得．
分析：（Ⅰ）根据题意，设甲、乙、丙三人各自完成任务”分别为事件A、B、C，分析可得，X的所有可能取值为0，1，2，3；由相互独立事件概率的乘法公式可得P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3），即可得X的分步列，由期望的计算公式可得E（X）．
（Ⅱ）设“三人中只有丙完成了任务”为事件E，易得P（E）=P（••C），结合题意代入数据可得，解可得P的值．
点评：本题考查相互独立事件的概率计算以及随机变量的分步列、期望的计算，计算期望时，需要注意提高计算的准确性．