Question

双曲线C的焦点分别为F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），且双曲线C经过点P（4

2

，2

7

）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=

2

上，且

OA

•

OB

=0，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

32

a2

-

28

b2

=1，b²=8-a²，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（

2

，t），其中x₀＞2，或x₀＜-2．当y₀≠t时，直线AB的方程为（y₀-t）x-（x0-

2

）y+tx₀-

2

y0=0，由此利用点到直线距离公式、弦长公式、韦达定理，利用已知条件能求出圆的方程．

解答： 解：（1）依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（1分）
∵点P（4

2

，2

7

）在双曲线C上，
∴

32

a2

-

28

b2

=1，①
又b²=8-a²，②
②代入①去分母整理得：a⁴-68a²+32×8=0，
又a＜c，解得a²=4，b²=4，（3分）
∴所求双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

4

=1．（4分） 
（2）设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（

2

，t），其中x₀＞2，或x₀＜-2．（5分）
当y₀≠t时，直线AB的方程为y-t=

y0-t

x0- 2

（x-

2

），
即（y₀-t）x-（x0-

2

）y+tx₀-

2

y0=0，（6分），
若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值，
设圆心O到直线AB的距离为d，则d=

|tx0- 2 y0|

(y0-t)2+(x0- 2 )2

．（7分）
∵y₀≠0，∴t=-

2 x0

y0

，（8分）
又x02-y02=4，∴d=

|- 2 x02 y0 - 2 y0|

(y0+ 2 x0 y0 )2+x02-2 2 x02+2

=

2 2 | y02+2 y0 |

2y04+8y02+8 2y02

=

2 2 | y02+2 y0 |

2(y02+2)2 y02

=

2 2 •| y02+2 y0 |

2 | y02+2 y0 |

=2，（11分）
此时直线AB与圆x²+y²=4相切，（12分）
当y₀=t时，x0=-

t2

2

，代入双曲线C的方程并整理得t⁴-2t²-8=0，
即（t²-4）（t²+2）=0，解得t=±2，
此时直线AB：y=±2．也与圆x²+y²=4也相切．（13分）
综上得存在定圆x²+y²=4与直线AB相切．（14分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、弦长公式、韦达定理的合理运用．