Question

定义：若数列{a_n}对任意的正整数n，都有|a_n+1|+|a_n|=d（d为常数），则称{a_n}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”{a_n}中，a₁=2，“绝对公和”d=2，则其前2010项和S₂₀₁₀的最小值为

-2006

．

Answer 1

分析：利用“绝对和数列”的定义写出数列的前几项找出规律，当n为偶数时a_n为0，当n为奇数且不为1时，|a_n|=2，为使和最小，令非0的数都取-2，即可求出前2010项和S₂₀₁₀的最小值．

解答：解：∵|a_n+1|+|a_n|=2，a₁=2，∴a₂=0
∴|a₃|=2，∴a₄=0
∴|a₅|=2
…
∴a₁=|a₃|=|a₅|=…=|a₂₀₀₉|=2，a₂=a₄=…=a₂₀₁₀=0
为使前2010项和S₂₀₁₀的最小值
∴a₃=a₅=…=a₂₀₀₉=-2
∴前2010项和S₂₀₁₀的最小值为2+（-2）×2004=-2006
故答案为：-2006．

点评：本题考查新定义，考查数列递推式，考查数列的求和，确定数列中项的规律是关键．