Question

已知向量．
（1）若，求tanθ的值；
（2）若，求θ的值；
（3）设，若，求f（θ）的值域．

Answer 1

解：（1）∵，∴2sinθ=cosθ-2sinθ，∴．
（2）∵，∴sin²θ+（cosθ-2sinθ）²=5，化简可得-sinθcosθ=cos²θ，
∴cosθ=0，或 sinθ=-cosθ．
再由 0＜θ＜π 可得 ．
（3）f（θ）=（sinθ+1）²+（cosθ+1）²+sin2θ
=3+2（sinθ+cosθ）+sin2θ，
令t=sinθ+cosθ，，则有f（t）=t²+2t+2，利用二次函数的性质可得当t=-1时，f（t）有最小值1，当t=时，f（t）有最大值4+2，
故 ，故f（θ）的值域为 ．
分析：（1）利用两个向量共线的性质可得 2sinθ=cosθ-2sinθ，由此求得．
（2）由，化简可得-sinθcosθ=cos²θ，故 cosθ=0，或 sinθ=-cosθ，由此求得θ的值．
（3）化简f（θ）=3+2（sinθ+cosθ）+sin2θ，令t=sinθ+cosθ，，则 f（t）=t²+2t+2，利用二次函数的性质求出f（θ）的值域．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．