解:(1)由题意知ξ的可能取值为0,2,4,(2分)
∵“ξ=0”指的是实验成功2次,失败2次.(2分)
∴p(ξ=0)=
.
“ξ=2”指的是实验成功3次,失败1次或实验成功1次,失败3次.
∴P(ξ=2)=
.
“ξ=4”指的是实验成功4次,失败0次或实验成功0次,失败4次.
∴p(ξ=4)=
,(6分)
∴Eξ=
.
故随机变量ξ的数学期望为
.(7分)
(2)由题意知:“不等式ξx
2-ξx+1>0的解集是实数R”为事件A.
当ξ=0时,不等式化为1>0,其解集是R,说明事件A发生;
当ξ=2时,不等式化为2x
2-2x+1>0,
∵△=-4<0,所以解集是R,说明事件A发生;
当ξ=4时,不等式化为4x
2-4x+1>0,其解集{x|x
},
说明事件A不发生.(10分)
∴p(A)=p(ξ=0)+p(ξ=2)=
.(12分)
分析:(1)由题意知ξ的可能取值为0,2,4,p(ξ=0)=
.P(ξ=2)=
.p(ξ=4)=
,由此能求出随机变量ξ的数学期望.
(2)由题意知:“不等式ξx
2-ξx+1>0的解集是实数R”为事件A.当ξ=0时,不等式化为1>0,其解集是R,说明事件A发生;当ξ=2时,不等式化为2x
2-2x+1>0,△=-4<0,所以解集是R,说明事件A发生;当ξ=4时,不等式化为4x
2-4x+1>0,其解集{x|x
},说明事件A不发生.由此能求出事件A发生的概率P(A).
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生的运算能力,考查学生探究研究问题的能力,解题时要认真审题.对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.