Question

已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；
（1）求随机变量ξ的数学期望
（2）记“关于x的不等式 ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

Answer 1

解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，（2分）
∵“ξ=0”指的是实验成功2次，失败2次．（2分）
∴p（ξ=0）=．
“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次．
∴P（ξ=2）=．
“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次．
∴p（ξ=4）=，（6分）
∴Eξ=．
故随机变量ξ的数学期望为．（7分）
（2）由题意知：“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．
当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；
当ξ=2时，不等式化为2x²-2x+1＞0，
∵△=-4＜0，所以解集是R，说明事件A发生；
当ξ=4时，不等式化为4x²-4x+1＞0，其解集{x|x}，
说明事件A不发生．（10分）
∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=．（12分）
分析：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，p（ξ=0）=．P（ξ=2）=．p（ξ=4）=，由此能求出随机变量ξ的数学期望．
（2）由题意知：“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；当ξ=2时，不等式化为2x²-2x+1＞0，△=-4＜0，所以解集是R，说明事件A发生；当ξ=4时，不等式化为4x²-4x+1＞0，其解集{x|x}，说明事件A不发生．由此能求出事件A发生的概率P（A）．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．