Question

18．已知数列{a_n}对任意的p，q∈N^*满足：a_p+q=2a_p+2a_q（p≠q），且a₁=1，a₂=4，那么a_n=-2+3•2^n-1．

Answer 1

分析 当n≥3时，利用a_n=2a_n-1+2整理可知数列{a_n+2}（n≥2）是以6为首项、以2为公比的等比数列，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，当n≥3时，a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
又∵a₂+2=4+2=6，
∴数列{a_n+2}（n≥2）是以6为首项、以2为公比的等比数列，
∴a_n+2=6•2^n-2=3•2^n-1，
∴a_n=-2+3•2^n-1（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=-2+3•2^n-1，
故答案为：-2+3•2^n-1．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．