Question

下列命题正确的是

（1）（3）（4）

．
（1）△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分不必要条件．
（2）y=2

1-x

+

2x+1

的最大值为

5

．
（3）函数f（x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．
（4）已知f（x）在R上减，其图象过A（0，1），B（3，-1），则|f（x+1）|＜1的解集是（-1，2）．
（5）将函数y=cos2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=cos(2x-

π

4

)的图象．

Answer 1

分析：（1）先根据sinA=sinB时，则有A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件；同时△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．
（2）先求函数的定义域，再将函数两边平方，最后利用均值定理求最值即可，特别注意等号取得的条件．
（3）由偶函数的图象关于y轴（x=0）对称，将f（x+1）的图象向右平移1个单位后得到f（x）的图象，根据函数图象的平移，对称轴也跟着平移的原则，可得答案．
（4）利用A（0，1），B（3，-1）是其图象上的两点⇒f（0）=1，f（3）=-1，所以|f（x+1）|＜1 转化为f（3）＜f（x+1）＜f（0），再利用单调性得出结论．
（5）将函数y=cos2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=cos（2x+

π

2

）的图象．

解答：解：（1）当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，
故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件，
反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，
若A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件，
故△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分不必要条件，即（1）正确；
（2）y=2

1-x

+

2x+1

的定义域为[-

1

2

，1]，
∴y²=5-2x+2

1-x

•

2x+1

=5-2x+2

2

1-x

•

x+ 2 2

≤5-2x+

2

2

[（1-x）+（x+

2

2

）]=

11+ 2

2

-2x，
当且仅当x=

2- 2

4

时，取等号，即y²≤

11+ 2

2

-

2- 2

2

=

9+2 2

2

，
∴y=2

1-x

+

2x+1

的最大值为

9+2 2 2

，故（2）不正确；
（3）∵f（x+1）是偶函数，
∴函数f（x+1）的图象关于y轴（x=0）对称
将函数f（x+1）的图象向右平移1个单位后得到f（x）的图象
故f（x）的图象关于x=1对称，故（3）正确；
（4）∵f（x）在R上减，其图象过A（0，1），B（3，-1），
∴f（0）=1，f（3）=-1，
∵|f（x+1）|＜1，
∴f（3）＜f（x+1）＜f（0），
∴0＜x+1＜3，故-1＜x＜2，故（4）正确；
（5）将函数y=cos2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=cos（2x+

π

2

）的图象，故（5）不正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断．解题的时候注意条件的先后顺序．