Question

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+y-=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足•=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB=，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=（1-y₁），x₂=（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0．由此可求出椭圆Γ的方程．
（2）由题意知M、N是椭圆+y²=1上的两点，且OM⊥ON，故设M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），由题设条件能够推出|MN|的最小值为．
解答：解：（1）依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由∠AOB=，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=（1-y₁），x₂=（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0①
由|AB|=2知：|y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨设y₁＞y₂，则y₂=y₁+1，②
将②式代入①式求得：或，
∴A（，），B（-，）或A（，0），B（0，1），
又A（，），B（-，）不合题意，舍去．
∴A（，0），B（0，1），
故所求椭圆Γ的方程为+y²=1．
（2）由题意知M、N是椭圆+y²=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），
于是r₁²（+sin²θ）=1，r₂²（+cos²θ）=1，
又（r₁²+r₂²）（+）=2++≥4，
从而|MN|²•≥4，即|MN|≥，
故所求|MN|的最小值为．
点评：本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．