Question

如图，椭圆与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线在左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F₁、F₂，双曲线的左、右焦点分别是椭圆左、右顶点，△MF₁F₂的周长为（4），设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂=1；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：由题意知，双曲线的离心率为，椭圆离心率为，∴a=c
∵2a+2c=4（ ），∴a=2，c=2，∴b²=a²-c²=4，
∴椭圆的标准方程为；
∴椭圆的焦点坐标为（±2，0），
∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
∴该双曲线的标准方程为．
（2）证明：设点P（x₀，y₀），则k₁=，k₂=，
∴k₁•k₂==，
又点P（x₀，y₀）在双曲线上，∴y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂==1．
（3）解：假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，则由（2）知k₁•k₂=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x-2），
由方程组 消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x2，y₂），则由韦达定理得，x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴|AB|=，
同理可得|CD|=
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==
∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
分析：（1）由题意知，确定双曲线、椭圆离心率，根据△MF₁F₂的周长，即可求得椭圆的标准方程，根据双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，可求双曲线的标准方程，；
（2）设点P（x₀，y₀），根据斜率公式求得k₁、k₂，利用点P在双曲线上，即可证明结果；
（3）设直线AB、CD的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．
点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．