Question

已知椭圆的右焦点为F，过点P（5，0）的直线l与椭圆C交于Q、R，且．
（1）若，求直线l的方程；
（2）试用λ表示Q点的横坐标，并求出λ的最大值；
（3）若点S是点R关于x轴的对称点，求证：．

Answer 1

（1）解：设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
∵，∴（x₁-5，y₁）=（x₂-5，y₂）
∴x₁=x₂-，y₁=y₂，
∵，
∴，
∵P（5，0），∴直线l的斜率为±
∴直线l的方程为y=±（x-5）；
（2）解：∵，∴（x₁-5，y₁）=λ（x₂-5，y₂）
∴x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，
∵，
∴
当且仅当P，Q，R在长轴上时，λ最大，此时，
∴λ=
（3）证明：由（2）知，S（x₁，-y₁），F（1，0）
∴=（1-x₁，y₁），=（x₂-1，y₂），
∵x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，
∴
分析：（1）设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，即可求得直线l的方程；
（2）利用，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，当且仅当P，Q，R在长轴上时，λ最大；
（3）由（2）知，S（x₁，-y₁），F（1，0），用坐标表示向量，即可证得结论．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合，考查向量知识的运用，解题的关键是确定坐标之间的关系．