Question

设两非零向量e₁和e₂不共线.

（1）如果=e₁+e₂,=2e₁+8e₂,=3(e₁,-e₂),求证：A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k,使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线.

Answer 1

思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将e₁,e₂看作一组基底表示我们需要的向量，如，=+=2e₁+8e₂+3e₁-3e₂=5e₁+5e₂然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量ke₁+e₂,e₁+ke₂都是用基底e₁,e₂表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（ke₁+e₂）=λ(e₁+ke₂),解出k值即可.

（1）证明：∵=e₁+e₂,

+

=2e₁+8e₂+3e₁-3e₂

=5(e₁+e₂)=5,

∴、BD共线.又有公共点B，∴A、B、D三点共线.

（2）解：∵ke₁+e₂与e₁+ke₂共线，

∴存在λ使ke₁+e₂=λ(e₁+ke₂),

则（k-λ）e₁=(λk-1)e₂.由于e₁与e₂不共线，

∴只能有则k=±1.

温馨提示

     题目中已给出一组基底e₁,e₂，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e₁,e₂表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.