Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点O是对角线与的交点,是的中点,.

(1) 求证：平面;

(2) 平面平面;

(3) 当四棱锥的体积等于时,求的长.

 

Answer 1

【答案】

(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)PB=

【解析】试题分析：(I)利用线面平行的判定定理只要证OM//PB即可.

（II）根据面面垂直的判定定理只要证：即可，因为,只要证：.

(III)因为底面积易求，利用棱锥的体积公式,可求出高PA，再在直角三角形PAB中，利用勾股定理求出PB的值.

解：(1)在中，、分别是、的中点,

是的中位线，

，            …………1分

平面，平面，……3分

平面.              …………4分

(2)  底面是菱形,

，                  …………5分

平面,平面

.                   …………6分

平面,平面,,…………7分

平面,             …………8分

平面,             …………9分

平面平面.       …………10分

(3) 底面是菱形,

菱形的面积为,…………11分

四棱锥的高为,,得 …………12分

平面,平面,

.                                                …………13分

在中,.          …………14分

考点：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

点评：掌握线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是解决此类问题的关键.同时还要记住柱、锥、台体的体积及表面积公式.