Question

如图，正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上．并且

AE

EB

=

CF

FD

=λ（0＜λ＜+∞），设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β的值是（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  3

• C．

  π

  2

• D．与λ的值有关

Answer 1

分析：先证明正三棱锥的对棱AC与BD垂直，此结论由线面垂直得来，再由异面直线所成的角的定义，在同一平面内找到α与β，最后在三角形中发现α+β=

π

2

，从而做出正确选择．

解答：解：如图，取线段BC上一点H，使

CH

HB

=λ，取BD中点O，连接AO，CO
∵正三棱锥A-BCD中每个侧面均为等腰三角形，底面△BCD为正三角形，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC?平面AOC∴BD⊥AC
∵

AE

EB

=λ(λ＞0)，

CH

HB

=λ，∴EH∥AC，∵

CF

FD

=λ(λ＞0)，

CH

HB

=λ，∴HF∥BD
∴∠HEF就是异面直线EF与AC所成的角，∠HFE就是异面直线EF与BD所成的角，∴∠EHF就是异面直线BD与AC所成的角，
∴α=∠HEF，β=∠HFE，∠EHF=90°
∴α+β=

π

2

，
故选C

点评：本题考察了异面直线所成的角的作法和算法，正三棱锥的性质，解题时要认真体会将空间问题转化为平面问题的过程