Question

如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据BC∥AD，我们可以知道BC∥平面PAD，由于平面PBC∩平面PAD=l，可以证得BC∥l；
（2）要证明MN∥平面PAD．关键是在平面PAD中找出直线与MN平行，由于M、N分别是AB、PC的中点，故可利用取中点的方法求解．

解答：解：（1）证明：因为BC∥AD，BC?平面PAD．
AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又因为平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l（6分）
（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N是PC的中点，E是PD的中点
∴NE∥CD，且NE=

1

2

CD
∵CD∥AB，M是AB的中点
∴NE∥AM且NE=AM．
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE．
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）

点评：本题以四棱锥为载体，考查线线平行，线面平行，证题的关键是合理运用线面平行的判定及性质定理．