Question

17．已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）已知函数f（x）=x²+1，$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；
（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得$p（x）=\frac{a}{x+2}$，x∈[-1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，通过判断任取${x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，证明|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，说明f（x）属于集合M．
（2）利用新定义，列出关系式，即可求出实数a，b的取值范围．
（3）通过若p（x）∈M，推出$|{\frac{a}{{{x_1}+2}}-\frac{a}{{{x_2}+2}}}|≤|{{x_1}-{x_2}}|$，然后求解a∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．

解答 解：（1）任取${x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|=|{{x_1}^2-{x_2}^2}|=|{{x_1}+{x_2}}||{{x_1}-{x_2}}|$
∵$-\frac{1}{2}≤{x_1}，{x_2}≤\frac{1}{2}$，∴-1≤x₁+x₂≤1，∴0≤|x₁+x₂|≤1
∴|x₁+x₂||x₁-x₂|≤|x₁-x₂|
即|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，f（x）属于集合M…（4分）
（2）∵g（x）=ax+b∈M，
∴使得任意x₁、x₂∈R，均有|g（x₁）-g（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
即存在|g（x₁）-g（x₂）|=|a||x₁-x₂|≤|x₁-x₂|
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≤a≤1\\ b∈R\end{array}\right.$…（10分）
（3）若p（x）∈M，则|p（x₁）-p（x₂）|≤|x₁-x₂|对任意的x₁、x₂∈[-1，+∞）都成立．
即$|{\frac{a}{{{x_1}+2}}-\frac{a}{{{x_2}+2}}}|≤|{{x_1}-{x_2}}|$，
∴|a|≤|（x₁+2）（x₂+2）|
∵x₁、x₂∈[-1，+∞），∴|（x₁+2）（x₂+2）|≥1，
∴|a|≤1，-1≤a≤1
∴当a∈[-1，1]时，p（x）∈M；
当a∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．…（18分）

点评 本题考查新定义的应用，函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力、