Question

已知函数．
（1）当a=4，解不等式f（x）＞3x；
（2）若函数g（x）=f（2^x）是奇函数，求a的值；
（3）若不等式f（x）＜x在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=4时，不等式
解得，
∴原不等式的解集为．
（2），∵g（x）是奇函数，∴g（-x）+g（x）=0恒成立．
∴，
即 ，∴a=1．
（3）f（x）＜x在x∈[0，+∞）上恒成立上恒成立，
设，则只需a＜h（x）_min．
∵x≥0，∴x+1≥1，∴，
当且仅当，
∴a的取值范围是．
分析：（1）当a=4时，把要解得不等式等价转化为，由此求得不等式f（x）＞3x的解集．
（2）由g（x）是奇函数，可得g（-x）+g（x）=0恒成，化简可得，从而求得a的值．
（3）由题意可得上恒成立，设，利用基本不等式求得，从而得到a的取值范围．
点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的奇偶性的应用以及函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，
属于中档题．