Question

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。
如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2，
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求平面B₁AD₁与平面CAD₁夹角的余弦值。

Answer 1

解：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线 分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系D-xyz， 如图，则有A（2，0，0）， B（2，2，0），C（0，2，0）， A1（1，0，2），B1（1，1，2）， C1（0，1，2），D1（0，0，2）， （Ⅰ）证明：设，连接D1、E， 则有， 所以， ∵， ∴平面； （Ⅱ）， 设为平面AB1D1的法向量， ， 于是令x=1，则y=-1，z=1，， 同理可以求得平面的一个法向量， ， ∴二面角的余弦值为。