Question

已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：依题意可设此双曲线的方程为y²-3x²=k（k≠0），利用焦点到渐近线的距离为3求得k即可．
解答：解：设此双曲线的方程为y²-3x²=k（k≠0），
当k＞0时，a²=k，b²=，c²=k，此时焦点为（0，±），
由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y²-3x²=27；
当k＜0时，a²=-，b²=-k，c²=-k，此时焦点为（±，0），
由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y²-3x²=-9，即3x²-y²=9．
∴所求的双曲线方程为为y²-3x²=27或3x²-y²=9．
点评：本题考查双曲线的简单性质，据题意设双曲线的方程为y²-3x²=k（k≠0）是捷径，考查待定系数法与分类讨论思想，属于中档题．