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    本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足数学公式．★（参考公式数学公式）
    求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．

    证明：∵，∴bn+1=，
    ∴bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，
    bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
    ②减去①可得 bn+1-bn=（n+1）an+1．
    两边同时除以n+1可得 bn+1-bn=an+1 ③，
    ∴bn-bn-1=an ④．
    ③减去④可得 an+1 -an=（ bn+1 - bn ）-（ bn -bn-1 ）
    =bn+1 +bn+1 -bn-bn-bn+ bn-1-bn-1
    =（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）+ （bn-bn-1）-（bn-bn-1）
    =（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1）．
    由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，
    此时an+1 -an=d+-=，是个常数．
    故：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
    分析：由条件可得 bn+1-bn=an+1 ，bn-bn-1=an，相减可得 an+1 -an═（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1），由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，此时an+1 -an=d+-=，是个常数，从而结论成立．
    点评：本题主要考查用分析法和综合法证明数学命题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
    练习册系列答案
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    1+2+3+…+n
    ．★（参考公式1+22+32+…+n2=
    n(n+1)(2n+1)
    6
    ）
    求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．

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    科目：高中数学 来源：2011年江苏省如皋市高一上学期期中考试数学 题型：解答题

    (本题满分16分)

    设为实数，且

        （1）求方程的解；

    （2）若，满足，试写出与的等量关系（至少写出两个）；

    （3）在（2）的基础上，证明在这一关系中存在满足.

     

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足bn=
    a1+2a2+3a3+…+nan
    1+2+3+…+n
    ．★（参考公式1+22+32+…+n2=
    n(n+1)(2n+1)
    6
    ）
    求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年江苏省宿迁市泗阳中学高二（上）调研数学试卷（解析版） 题型：解答题

    本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足．★（参考公式）
    求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．

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