Question

（2012•自贡三模）在直角坐标系中，有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…对每一个正整数n，点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象上，点P_n和点（（n-1，0）与点（n，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（I） 求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（II） 记c_n=3bn，n∈N₊．
①证明

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

＜3；
②是否存在实数k，使得(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)…(1+

1

cn

)≥k

2n+1

对一切n∈N₊均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得an=

n-1+n

2

=

2n-1

2

，然后由点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象可求b_n
（Ⅱ）①由c_n=3bn=2n-1，然后利用错位相减求和方法可求

C1

2

+

C2

22

+…+

Cn

2n

，然后进行证明
②由k≤

2 1 × 4 3 ×…× 2n 2n-1

2n-1

=g(n)恒成立，要求k的范围，利用函数的单调性求解g（n）的最小值，从而k≤g（n）的最小值，即可求解k的范围

解答：解：（Ⅰ）∵P_n（a_n，b_n），（n-1，0）与点（n，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形
∴an=

n-1+n

2

=

2n-1

2

       …（2分）
又因为点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象
∴b_n=log₃（2n-1）…（4分）
（Ⅱ）①∵c_n=3bn=2n-1------------------（5分）
设D_n=

C1

2

+

C2

22

+…+

Cn

2n

则D_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

①
∴

1

2

Dn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

        ②…（6分）
由①-②得：

1

2

Dn=

1

2

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

∴Dn=2[

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

]-

2n-1

2n

=1+2-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

＜3--------（9分）
②由已知得k≤

2 1 × 4 3 ×…× 2n 2n-1

2n-1

=g(n)对一切n∈N₊均成立．
∴

g(n+1)

g(n)

=

2 1 × 4 3 ×…× 2n 2n-1 × 2n+2 2n+1

2n+3

×

2n+1

2 1 × 4 3 ×…× 2n 2n-1

=

2n+2

4n2+8n+3

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1-------（12分）
∴g（n）单调递增．最小值为g（1）=

2

3

=

2 3

3

--------（13分）
又∵k≤g（n）对一切n∈N₊均成立．
∴k≤

2 3

3

．
kmax=

2 3

3

…（14分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式的应用，错位相减求和方法的应用，及函数的单调性在求解函数的最值中的应用，函数的恒成立与函数最值求解的相互转化．