Question

已知P（x₀，y₀）是直线x+y-6=0上的动点，若圆D：（x-1）²+（y-1）²=4存在两点B、C，使∠BPC=60°，则x₀的取值范围是

 

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Answer 1

分析：从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为PE，PF，则∠EPF为60°时，∠EDF为120°，所以DP的长度为4，故可确定点P的横坐标x₀的取值范围．

解答：解：由题意，
从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，
不妨设切线为PE，PF，则∠EPF为60°时，∠EDF为120°，
∴在Rt△PED中，
PD=4．
故问题转化为在直线x+y-6=0上找到一点，使它到点D的距离为4．
设P（x₀，6-x₀），
∵D（1，1），
∴|PD|²=（x₀-1）²+（5-x₀）²=16
∴x₀=1或5．
∴点P的横坐标x₀的取值范围是[1，5]
故答案为：[1，5]

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．