Question

圆C₁的方程为x²+y²=

4

25

，圆C₂的方程（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=

1

25

（θ∈R），过C₂上任意一点P作圆C₁的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出∠MPN的最大值．

解答： 解：圆C₁的方程为x²+y²=

4

25

，圆心坐标为：C₁（0，0）半径r=

2

5

圆C₂的方程（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=

1

25

，圆心坐标为：C₂（cosθ，sinθ）半径R=

1

5

由于cos²θ+sin²θ=1
|c₁c₂|＞R+r
所以两圆相离．
过C₂上任意一点P作圆C₁的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则要求∠MPN的最大值
只需满足：在圆c₂找到距离圆c₁最近点即可．
所以：如下图所示：|PC₁|=1-

1

5

=

4

5

|MC₁|=

2

5

在Rt△MPC₁中，根据|PC₁|=

4

5

，|MC₁|=

2

5

解得：∠MPC1=

π

6

所以：∠MPN=

π

3

即∠MPN的最大值为：

π

3

故选：C

点评：本题考查的知识要点：圆于圆的位置关系，特殊位置出现相关的三角形知识，及角的最值问题．