Question

某学生在观察正整数的前n项平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

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，n∈N^*时发现它的和为关于n的三次函数，于是他猜想：是否存在常数a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)(n+2)(an+b)

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．对于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2时猜想成立，求实数a，b的值．
（2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．

Answer 1

证明：（1）若n=1，2时猜想成立，
假设存在符合题意的常数a，b，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=

n(n+1)(n+2)(an+b)

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中，
令n=1，得4=

1

2

（a+b）①
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，对于对于一切正整数n猜想都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=

k(k+1)

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（3k²+11k+10），
那么当n=k+1时，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=

k(k+1)

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（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

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（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

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[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立．