Question

题目

某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东方向，位于城市O北偏东方向15km的P处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.

Answer 1

解：以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系. 直线OB的倾斜角为 ，

从而直线OB的方程为y=3x.    …………………………… 2分                                         

由已知，|OP|=15，，得点P的坐标为（9，12）.……………… 4分

设点C的坐标为 (t ，0)，则直线PC的方程为 ：，…… 5分

联立y=3x，得，    ∴t ＞5. ……………… 7分

 ∴…………………………… 9分

 = =120. ………… 11分

上式当且仅当，即t=10时取等号.

而当时，

∴当t=10时，S_△OCD取最小值120. …………………………… 14分

答：当C地处于城市O正东方向10km处时，能使三角形区域面积最小，其最小面积为120(km)². …………………………… 16分