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精英家教网在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作MA)的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老王在研究股票的走势图时,发现一只股票的MA均线近期走得很有特点:如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy,则股价y(元)和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.
现在老王决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定解析式中的常数a,b,ω,φ,并且已经求得ω=
π72

(1)请你帮老王算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求F点的横坐标);
(2)老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股,到见顶处F点的价格全部卖出,不计其它费用,这次操作他能赚多少元?
分析:(1)根据C,D关于直线l对称写出C点坐标,再把A、B、C的坐标代入解析式,得到关于a,b,φ的方程组,解此方程组即得:a=6,b=19,φ=
6
.于是可写出ABC段的解析式,由对称性得,也可得到DEF段的解析式,最后由解析式得出何时y值最大,从而得到当x=92时,股价见顶.
(2)由(1)可知,yF=6+19=25,故可计算出这次操作老王能赚多少元.
解答:精英家教网解:(1)∵C,D关于直线l对称∴C点坐标为(2×34-44,16),即(24,16),把A、B、C的坐标代入解析式,得
22=asinφ+b
 & &①
19=asin(
π
6
+φ)+b
 &②
16=asin(
π
3
+φ)+b
 &③


②-①得a[sin(
π
6
+φ)-sinφ]=-3
,③-①得a[sin(
π
3
+φ)-sinφ]=-6
,∴2sin(
π
6
+φ)-2sinφ=sin(
π
3
+φ)-sinφ
cosφ+
3
sinφ=
3
2
cosφ+
3
2
sinφ
.∴(1-
3
2
)cosφ=(
3
2
-
3
)sinφ=
3
(
3
2
-1)sinφ
,∴tanφ=-
3
3
∵0<φ<π∴φ=π-
π
6
=
6
,代入②得b=19,再由①得a=6.∴a=6,b=19,φ=
6

于是,ABC段的解析式为y=6sin(
π
72
x+
6
)+19
,由对称性得,DEF段的解析式为y=6sin[
π
72
(68-x)+
6
]+19
.∴
π
72
(68-xF)+
6
=
π
2
,解得xF=92.∴当x=92时,股价见顶.
(2)由(1)可知,yF=6+19=25,故这次操作老王能赚5000×(25-16)=45000元.
点评:本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型,体现了数学在实际生活中的应用,解答关键是数形结合法的应用.
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