Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)². 其中3<x<6，a为常数. 已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

 

Answer 1

【答案】

(1) a＝2   (2) x＝4

【解析】本试题主要考查了函数的运用，。

解：(Ⅰ)因为x＝5时，y＝11，所以，＋10＝11，a＝2.      ……………3分

(Ⅱ)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)²，

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)²]＝2＋10(x－3)(x－6)²，（3<x<6）    ………5分

从而，f′(x)＝10[(x－6)²＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，

令f′(x)＝0，得x=4或x=6（舍去）.             ………………………6分

因为当x∈(3，4)时，f′(x)>0，当x∈(4，6)时，f′(x)<0，

所以f (x)在(3，6)取得唯一的极大值，也就是最大值， ……………………10分

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.      …………11分

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.