Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁、F₂，

且|F₁F₂|＝2，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F₁的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF₂B的面积为，

求直线l的方程．

Answer 1

解(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得椭圆C两焦点坐标分别为F₁(－1,0)，F₂(1,0)．

∴2a＝＋

＝＋＝4.∴a＝2，又c＝1，∴b²＝4－1＝3，

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)当直线l⊥x轴时，计算得到：A，B，S△AF₂B＝·|AB|·|F₁F₂|＝×3×2＝3，不符合题意．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y＝k(x＋1)，由消去y得(3＋4k²)x²＋8k²x＋4k²－12＝0.

显然Δ>0成立，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝.

又|AB|＝·

＝·

＝·＝，

圆F₂的半径r＝＝，

所以S△AF₂B＝|AB|·r＝··＝＝，

化简，得17k⁴＋k²－18＝0，即(k²－1)(17k²＋18)＝0，解得k＝±1.

所以y=±(x+1)