Question

如图所示，点F(

p

2

，0)(p＞0)，点P为抛物线C：y²=2px上的动点，P到y轴的距离PN满足：|PF|=|PN|+

1

2

，直线l过点F，与抛物线交于A，B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点Q（a，0）（a＜0），若直线l垂直于x轴，且向量

QA

和

QB

的夹角为

π

3

，求a的值；
（3）设M为线段AB的中点，求点M到直线y=x+1距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，F是抛物线的焦点，又|PF|等于点P到准线x=-

p

2

的距离，求出P值，最后写出抛物线的方程即可．
（2）过F的直线l与x轴垂直，不妨设A(

1

2

，1)，因为A，B关于x轴对称，结合向量的夹角，得出向量

QA

与x轴所成的角为

π

6

，从而列出关于a的等式，即可求得a．
（3）设直线AB的方程为x=my+

1

2

，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点公式及点到直线的距离公式即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（1）以题意，F是抛物线的焦点，又|PF|等于点P到准线x=-

p

2

的距离，
所以

p

2

=

1

2

，p=1，所以抛物线的方程为y²=2x．
（2）过F的直线l与x轴垂直，不妨设A(

1

2

，1)，
因为A，B关于x轴对称，向量

QA

和

QB

的夹角为

π

3

，则向量

QA

与x轴所成的角为

π

6

，
又知Q（a，0），则

1

1 2 -a

=

3

3

，得a=

1

2

-

3

．
（3）设直线AB的方程为x=my+

1

2

，代入y²=2x得y²-2my-1=0．
因为△=4m²+4＞0恒成立，所以直线x=my+

1

2

与抛物线恒有两个交点．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB中点M的坐标为(m2+

1

2

，m)．
所以点M到直线y=x+1的距离d=

|m2+ 1 2 -m+1|

2

=

(m- 1 2 )2+ 5 4

2

≥

5 2

8

．
当且仅当m=

1

2

时取等号．
所以点M到直线y=x+1距离的最小值为

5 2

8

．

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．