Question

双曲线C：的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF₂是等边三角形，则双曲线C的离心率为________．

Answer 1

分析：根据双曲线的定义算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等边三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．
解答：根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²+2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-）=28a²，解之得c=a，
由此可得双曲线C的离心率e==
故答案为：
点评：本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．