Question

已知三个函数y=|x|+1，y=

x2-2x+1+t

，y=

1

2

（x+

t

x

）（x＞0），其中第二个函数和第三个函数中的t为同一常数，且0＜t＜1，它们各自的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三个根．
（1）求证：（a-1）²=4（b+1）；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定函数的最小值与方程x³+ax²+bx+c=0的三个根关系，证明：（a-1）²=4（b+1）；
（2）利用导数与极值的关系，结合二次函数根与系数之间的关系求取值范围．

解答：解：（1）三个函数的最小值依次为1，

t

，

t

，
由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，
所以f（x）=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a-1）x+a+b+1]，
故方程x²+（a-1）x+a+b+1=0的两个根为

t

，

t

，
则

a+b+1=t a+1=-2 t

，即4（a+b+1）=（a+1）²．
（或利用判别式△=0）
（2）由题意可知x₁，x₂是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点，则x₁，x₂是函数f'（x）=3x²+2ax+b=0的两个根．
故x1+x2=-

2a

3

，x1x2=

b

3

，△=4a²-2b＞0，
所以△=4a²-3（a-1）²+12=（a+3）²，
所以|x1-x2|=

|a+3|

3

，而2

t

=-(a-1)，
得a=-1-2

t

∈(-3，-1)，
故|x1-x2|∈(0，

2

3

)．

点评：本题主要考查利用函数的导数研究函数的极值问题，综合性较强．