Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁与它的侧视图（或称左视图），E是DD₁上一点，AE⊥B₁C．
（1）求证AE⊥平面B₁CD；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析：（1）要证AE⊥平面B₁CD，由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，可知CD⊥ADD₁A₁，则CD⊥AE，结合AE⊥B₁C，即可证
（2）由AE⊥平面B₁CD，可得AE⊥B₁C，进而可得AE⊥A₁D，则可得△ADE∽△A₁AD，有

AD

DE

=

AA 1

AD

，从而可求DE，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，DE是三棱锥E-ACD的高，代入三棱锥E-ACD的体积V_E-ACD=

1

3

×

1

2

×AD×CD×DE可求

解答：证明：（1）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以CD⊥平面ADD₁A₁…（2分）
AE?平面ADD₁A₁，所以CD⊥AE…（3分）
因为AE⊥B₁C，CD∩B₁C=C，所以AE⊥平面B₁CD…（5分）
解：（2）连接A₁D，因为AE⊥B₁CD，所以AE⊥B₁C…（6分），
因为A₁D∥B₁C
所以AE⊥A₁D…（7分）
所以△ADE∽△A₁AD…（8分），所以

AD

DE

=

AA 1

AD

…（9分）
因为AD=2，AA₁=4
所以，DE=

AD2

AA1

=

2×2

4

=1（10分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以DE是三棱锥E-ACD的高…（11分），
所以三棱锥E-ACD的体积V_E-ACD=

1

3

×

1

2

×AD×CD×DE=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

…（13分）．

点评：本题考查证明线面垂直的判定定理的应用，三棱锥的体积的求解，其中根据三视图中的左视图得到正四棱锥的相关数据是求解的关键