Question

已知f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos²（x+）-
（1）化简f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f（x）为奇函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2-=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+）．
（2）由函数f（x）为奇函数可得 f（0）=0，所以2sin（θ+）=0，即θ+=kπ，k∈z，由 0≤θ≤π，所以θ=．
（3）f（x）=2sin（2x+θ+）=-2sin2x=1，所以sin2x=-，
∴，所以，x=kπ- 或 x=kπ+，
在x∈[-π，π]中，．（14分）
分析：（1）利用二倍角的正弦公式得 2sin（x+）cos（x+）=sin（2x+θ），再由二倍角的余弦公式得2cos²（x+）=
cos（2x+θ）+，再利用两角和的正弦公式进行化简．
（2）由函数f（x）为奇函数可得 f（0）=0，即 2sin（θ+）=0，即θ+=kπ，k∈z，根据 0≤θ≤π，求出θ 的值．
（3）由f（x）=1，化简可得sin2x=-，故有 ，解出x．
点评：本题考查二倍角的三角公式、两角和的正弦公式的应用，正弦函数的奇偶性，已知三角函数值求角．