Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AD=2，AA₁=1，E为BB₁的中点．
（1）求证：B₁D∥平面AEC；
（2）求三棱锥A-CDE的体积．

Answer 1

分析：（1）连接BD与AC交于点O，连接OE，由底面为正方形知，O为BD中点，故在三角形BDD₁中OE为中位线，所以OE∥B₁D，所以B₁D∥平面AEC；
（2）利用等积法有，V_A-CDE=V_E-ACDA，求得体积为

1

3

．

解答：（1）证明：如图，连接BD交AC与点O，连接OE．
∵底面ABCD为正方形
∴O为两对角线的交点，即为BD的中点．
∵E为BB₁的中点
∴OE为△BDB₁的中位线
∴OE∥B₁D
∵B₁D?平面ACE，OE?平面ACE．
∴B₁D∥平面ACE．
（2）如图，连接DE
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D_1为长方体
∴BB₁⊥底面ABCD
∴EB⊥面ACD
∵AA₁=1，E为BB₁中点
∴EB=

1

2

∵AB=AD=2
∴S△ACD=

1

2

×AD×DC=

1

2

×AD×AB=

1

2

×2×2=2
∴VE-ACD=

1

3

×SACD×EB=

1

3

×2×

1

2

=

1

3

∵V_A-ECD=V_E-ACD
∴VA-ECD=

1

3

故三棱锥A-CDE的体积为

1

3

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定方法及三棱锥的体积的求法，培养了数学问题的转化能力．