Question

21.如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m＞0）作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

（Ⅰ）设点P分有向线段所成的比为λ,证明:⊥（－λ）;

（Ⅱ）设直线AB的方程是x－2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

Answer 1

21.解：

（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m,代入抛物线方程x²=4y得x²－4kx－4m=0.            ①

设A、B两点的坐标分别是（x₁,y₁）、（x₂,y₂）,则x₁、x₂是方程①的两根.

所以x₁x₂=－4m.

由点P（0,m）分有向线段所成的比为λ,得=0,即λ=－.

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0,－m）,从而=（0,2m）.

－λ=（x₁,y₁+m）－λ（x₂,y₂+m）

=（x₁－λx₂,y₁－λy₂+（1－λ）m）.

·（－λ）=2m［y₁－λy₂+（1－λ）m］

=2m［+·+（1+）m］

=2m（x₁+x₂）·

=2m（x₁+x₂）·

=0,

所以⊥（－λ）.

（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6,9）、（－4,4）.

由x²=4y得y=x²,y′=x,

所以抛物线x²=4y在点A处切线的斜率为y′|_x=6=3.

设圆C的方程是（x－a）²+（y－b）²=r²,

由

解之得a=－,b=,r²=（a+4）²+（b－4）²=.

所以圆C的方程是（x+）²+（y－）²=,

即x²+y²+3x－23y+72=0.