Question

(2005辽宁，17)如下图，已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．

(1)证明：PC⊥平面PAB；

(2)求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

(3)若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)证明：连结CF． ∵，∴AP⊥PC． ∵CF⊥AB，PF⊥AB，∴AB⊥平面PCF． ∵PC平面PCF，∴PC⊥AB．故PC⊥平面PAB． (2)∵AB⊥PF，AB⊥CF， ∴∠PFC为所求二面角的平面角． 设AB=a，则，， ∴cos． (3)设PA=x，球半径为R． ∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，故． 由，得，故x=2， ∴△ABC的边长为．

提示：

剖析：本题考查线面垂直、二面角的求法及球与接切三棱锥的问题．