Question

10．用洛必达法则求下列极限：
（1）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx}{{x}^{2}}$
（2）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}-2x}{x-sinx}$
（3）$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\frac{lnsin3x}{lnsinx}$
（4）$\underset{lim}{x→0}（\frac{1}{x}-\frac{1}{{e}^{x}-1}）$．

Answer 1

分析 （1）由洛必达法则化简$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx}{2x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由洛必达法则化简$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}-2x}{x-sinx}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}-2}{1-cosx}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{sinx}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{cosx}$=2；
（3）由洛必达法则化简$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\frac{lnsin3x}{lnsinx}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3\frac{1}{sin3x}cos3x}{\frac{1}{sinx}cosx}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3sinxcos3x}{sin3xcosx}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3sinx}{sin3x}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3cosx}{3cos3x}$=1；
（4）由洛必达法则化简$\underset{lim}{x→0}（\frac{1}{x}-\frac{1}{{e}^{x}-1}）$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-x-1}{x（{e}^{x}-1）}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}-1+x{e}^{x}}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+{e}^{x}+{xe}^{x}}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx}{2x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（2）$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}-2x}{x-sinx}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}-2}{1-cosx}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{sinx}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{cosx}$=2；
（3）$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\frac{lnsin3x}{lnsinx}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3\frac{1}{sin3x}cos3x}{\frac{1}{sinx}cosx}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3sinxcos3x}{sin3xcosx}$
=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3sinx}{sin3x}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{3cosx}{3cos3x}$=1；
（4）$\underset{lim}{x→0}（\frac{1}{x}-\frac{1}{{e}^{x}-1}）$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-x-1}{x（{e}^{x}-1）}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}-1+x{e}^{x}}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+{e}^{x}+{xe}^{x}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了洛必达法则的应用．