Question

集合M_k（k≥0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x₁，x₂∈（k，+∞），都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）．
（1）函数f（x）=x²是否为集合M₀的元素，说明理由；
（2）求证：当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x是集合M₁的元素；
（3）对数函数f（x）=lgx∈M_k，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁）=2²=4，f（x₂）=3²=9，f（x₁+x₂）=5²=25＞f（x₁）+f（x₂）可判断函数f（x）是否是集合M₀的元素
（2）要证明当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x是集合M₁的元素，只要证对于任意的x₁，x₂∈（k，+∞），都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），即证f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）＞0
（3）由对数函数f（x）=lgx∈M_k，可得任取x₁，x₂∈（k，+∞），f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）成立，代入整理可得1＞

1

x1

+

1

x2

对一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，结合

1

x1

+

1

x2

∈（0，

2

k

），可求k的范围

解答：解：（1）取x₁=2，x₂=3∈（0，+∞），…1分
f（x₁）=2²=4，f（x₂）=3²=9，f（x₁+x₂）=5²=25＞f（x₁）+f（x₂），…1分
∴函数f（x）=x²不是集合M₀的元素．…1分
（2）证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=ax1+ax2-ax1+x2…1分
=1-(1-ax1)(1-ax2)，…1分
∵0＜a＜1，x₁＞1，根据指数函数的性质，得0＜ax1＜1，∴0＜1-ax1＜1，
同理，0＜1-ax2＜1，∴0＜(1-ax1)(1-ax2)＜1，∴1-(1-ax1)(1-ax2)＞0．
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），∴函数f（x）=a^x是集合M₁的元素．…2分
（3）∵对数函数f（x）=lgx∈M_k，∴任取x₁，x₂∈（k，+∞），f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）成立，
即lgx₁+lgx₂=lg（x₁•x₂）＞lg（x₁+x₂）成立，
∴x₁•x₂＞x₁+x₂对一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，…1分
∴1＞

1

x1

+

1

x2

对一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，
∵x₁，x₂∈（k，+∞），∴

1

x1

+

1

x2

∈（0，

2

k

），
∴

2

k

≤1，∴k≥2．…2分．

点评：本题以新定义为载体主要考查了阅读新知识并转化为解题的工具，指数函数的函数值、对数函数的函数值的综合应用．