Question

已知函数f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（p₁，p₂为实数），函数f（x）定义为：对于每个给定的x，f(x)=

f1(x) ，f1(x)≤f2(x) f2(x) ，f1(x)＞f2(x)

．
（1）讨论函数f₁（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f₂（x）≥6；
（3）若f（x）=f₁（x）对任意实数x都成立，求p₁，p₂满足的条件．

Answer 1

分析：（1）通过p₁=0与p₁≠0，直接判断函数的奇偶性即可．
（2）直接利用指数函数的性质，转化指数不等式为绝对值不等式，求解即可．
（3）根据定义，问题等价于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，从而进一步转化为具体不等式恒成立问题，可求p₁，p₂满足的条件．

解答：解：（1）当p₁=0时，函数f₁（x）=3^|x|，
显然函数是偶函数，当p₁≠0时，函数的对称轴为 x=p，
所以此时函数f1(x)=3|x-p1|既不是奇函数也不是偶函数．
（2）因为f2(x)=2•3|x-p2|，f₂（x）≥6，
所以2•3|x-p2|≥6，即3|x-p2|≥3，
所以|x-p₂|≥1，解得-1+p₂≥x或x≥1+p₂．
所以不等式的解集为{x|-1+p₂≥x或x≥1+p₂}．
（3）由f（x）的定义可知，f（x）=f₁（x）（对所有实数x）
等价于f₁（x）≤f₂（x）（对所有实数x）
这又等价于3|x-p₁|≤2•3|x-p₂|，
即3|x-p₁|-|x-p₂|≤3^log₃2=2对所有实数x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值为|p₁-p₂|，
故（*）等价于3|p₁-p₂|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，这就是所求的条件．
综上：|p₁-p₂|≤log₃2

点评：本题考查其他不等式的解法，函数的最值及其几何意义，函数奇偶性的判断，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想．