Question

如图，已知曲线．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面积为，求证

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知，，由此可知
（II）由（I）可猜想，然后用数学归纳法证明．
（III）由题意知x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=，由此可知=，所以
解答：解：（I）由题意知，，
∴（2分）
（II）由（I）猜想，
下面用数学归纳法证明；
（1）当n=1时，已证得成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，
即，由已知得：
当n=k+1时，由
∵，
∴a_k+1=（x_k+1+2^-k-1）-（x_k+2^-k）
=（x_k+1-x_k）+（2^-k-1-2^-k）
=2^-k+（2^-k-1-2^-k）
=
所以当n=k+1时，猜想也成立，综合（1）（2）得（6分）
（III）x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）++（x₂-x₁）+x₁=（8分）
∴=∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，∴，（10分）
∴（12分）
点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．