Question

（本小题满分16分）

已知函数．

（1）当时，若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

（2）当且时，求证：函数f (x)存在唯一零点的充要条件是；

（3）设，且，求证：<．

 

Answer 1

【答案】

（1）是 ．（2）在时，在上有唯一解的充要条件是．

（3）见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用单调性确定参数的取值范围，和零点的问题，及不等式的证明综合运用。

（1）因为函数．

，当时，若函数在上为单调增函数，则其导数恒大于等于零，得到的取值范围；

（2）当且时，运用导数的思想判定函数的单调性，确定函数f (x)存在唯一零点的充要条件是；

（3）因为，且，要证：<，采用分析法的思想来证明该不等式。

（1）当b=1时，.

因为在上为单调递增函数，所有在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，由，得．

设，，当且仅当时，等号成立．

即时，有最小值2，所以，解得．

所有a的取值范围是 ．                    …………………………4分

（2）．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

综上所述，的单调递减区间为；的单调递增区间为．                                       

①充分性：时，在处有极小值也是最小值，

即．在上有唯一的一个零点．

②必要性：f(x)=0在上有唯一解，且， f(a)=0，即．

令， ．

当时，，在上单调递增；当时，，

在上单调递减．，只有唯一解．

在上有唯一解时必有．                          

综上，在时，在上有唯一解的充要条件是．…………10分

（3）不妨设>n>0，则>1，要证<，

只需要<，即证>，只需证>0，

设，由（1）知，在上是单调增函数，又>1，有>，即>0成立，所以<．  ………16分