Question

11．若曲线f（x）=ax³+bx²+cx在x=0处的切线是y=x，且函数y=f（x）在x=1处取得极小值0，则曲线f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用在x=0处的切线是y=x，当x=1时，有极小值0，建立方程，求出a，b，c的值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵x=0处的切线是y=x，
∴f′（0）=1，
∴c=1，
∵函数y=f（x）在x=1处取得极小值0，
∴f（1）=0，f′（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{3a+2b+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-2x²+x，
f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
令f′（x）=0，解的x=1，或x=$\frac{1}{3}$，
由f′（x）＞0得$\frac{1}{3}$＜x＜1此时函数递减，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，此时函数递增，
∴当x=$\frac{1}{3}$时，函数有极大值，极大值为f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{27}$-2×$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$．
故答案为：$\frac{4}{27}$．

点评 本题考查导数知识的应用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．