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    已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．
    （I）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
    （II）对任何具有性质P的集合A，证明：；
    （III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
    【答案】分析：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．
    （II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有-a∉A，得到0∉A得到（ai，ai）∉T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T，求出T中的元素个数．
    （III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．
    解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．
    集合{-1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是
    S=（-1，3），（3，-1），T=（2，-1），（2，3）．
    （II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．
    因为0∉A，所以（ai，ai）∉T（i=1，2，，k）；
    又因为当a∈A时，-a∉A时，-a∉A，
    所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T（i，j=1，2，，k）．
    从而，集合T中元素的个数最多为，
    即．
    （III）解：m=n，证明如下：
    （1）对于（a，b）∈S，根据定义，
    a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．
    如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，
    那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
    从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
    故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．
    可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
    （2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，
    且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S．
    如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，
    那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
    从而a-b=c-d与b=d中也不至少有一个不成立，
    故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素．
    可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
    由（1）（2）可知，m=n．
    点评：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．
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    已知集合A=a1，a2，…，an中的元素都是正整数，且a1＜a2＜…＜an，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥
    xy
    25
    ．
    （Ⅰ）求证：
    1
    a1
    -
    1
    an
    ≥
    n-1
    25
    ；    
    （Ⅱ）求证：n≤9；
    （Ⅲ）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合A=a1，a2，a3，…，an，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
    （Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
    （Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：l(A)=
    n(n-1)2
    ；
    （Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

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    已知集合A={a1，a2，…，an}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜…＜an，对任意的x，y∈A，且x≠y，都有|x-y| ≥
    xy
    36
    ．
    （1）求证：
    1
    a1
    -
    1
    an
    ≥
    n-1
    36
    ；（提示：可先求证
    1
    ai
    -
    1
    ai+1
    ≥
    1
    36
    （i=1，2，…，n-1），然后再完成所要证的结论．）
    （2）求证：n≤11；
    （3）对于n=11，试给出一个满足条件的集合A．

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    已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
    （1）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）的值；
    （2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合A={a1，a2，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
    （Ⅰ）若集合A={2，4，8，16}，则l（A）=
     
    ；
    （Ⅱ）当n=108时，l（A）的最小值为
     
    ．

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