Question

某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘（转盘为十二等分的圆盘）一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，
（Ⅰ）求该顾客中一等奖的概率；
（Ⅱ）记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列；
（Ⅲ）求数学期望Eξ（精确到0.01）．

Answer 1

分析：（I）该顾客中一等奖分为以下两种情况，一是两次均中一等奖，二是两次有且只有一次中一等奖，由于每次中一等奖概率为

1

12

，代入相互独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
（II）由于该顾客可以转两次，故ξ的可能取值为20，15，10，5，0，分别计算出对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列；
（III）根据（II）的结论中随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可求出数学期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）设事件A表示该顾客中一等奖
P（A）=

1

12

×

1

12

+2×

1

12

×

11

12

=

23

144

所以该顾客中一等奖的概率是

23

144

（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0（5分）
P(ξ=20)=

1

12

×

1

12

=

1

144

，P(ξ=15)=2×

1

12

×

2

12

=

1

36

，
P(ξ=10)=

2

12

×

2

12

+2×

1

12

×

9

12

=

11

72

P(ξ=5)=2×

2

12

×

9

12

=

1

4

，
P(ξ=0)=

9

12

×

9

12

=

9

16

（每个1分）（10分）
所以ξ的分布列为

ξ	20	15	10	5	0
P	1 144	1 36	11 72	1 4	9 16

（10分）
（Ⅲ）数学期望Eξ=20×

1

144

+15×

1

36

+10×

11

72

+5×

1

4

≈3.33（14分）

点评：本题考查的知识点是相互独立事件概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望，其中根据顾客一次购物消费268元，计算出转盘次数，并给出ξ的可能取值，是解答本题的关键．